Ncert Solutions For Class 8 Maths Chapter 3

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यहाँ हम हिंदी में लाये है NCERT का पूरा हल कक्षा 8 गणित पुस्तक के अध्याय 3 चतुर्भुजों को समझना। हमारी यह पोस्ट उन छात्रों के लिए विशेष उपयोगी हैं जो हिंदी माध्यम से पढ़ाई कर रहे हैं।

NCERT Solutions For Class 8 Maths Chapter 3 का पूरा हल नीचे बहुत सरल भाषा में दिया गया है।

कक्षा:	8
अध्याय:	3
नाम:	चतुर्भुजों को समझना
भाषा:	हिंदी
पुस्तक:	गणित

• Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.1
• Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.2
• Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.3
• Class 8 Maths Chapter 3 Exercise 3.4

Ex 3.1 Class 8 Maths Q1. दी गई आकृतियो का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए।

(a) साधारण वक्र  (b) साधारण बंद वक्र

(c) बहुभुज।         (d) उत्तल बहुभुज

(e) अवतल बहुभुज

Solution 

(a) आकृति (1), (2), (5),(6),(7) साधारण वक्र के उदाहरण हैं।

(b)आकृति (1), (2), (5), (6), (7) साधारण बंद वक्र  के उदाहरण हैं।

(c) आकृति (1), (2), (4) बहुभुज  के उदाहरण हैं।

(d)  आकृति  (2) उत्तल बहुभुज का उदाहरण हैं।

(e)  आकृति (1),  (4) अवतल बहुभुज के उदाहरण हैं।

Ex 3.1 Class 8 Maths Q2. निम्न में कितने विकर्ण हैं।

(a) एक उत्तल चतुर्भुज

(b) एक समषड्भुज

(c) एक त्रिभुज

Solution 

एक उत्तल चतुर्भुज की आकृति निम्न प्रकार से है -

उत्तल चतुर्भुज में भुजाओं की संख्या (n)= 4

जहां n = भुजाओं की संख्या हैं।

बहुभुज में विकर्णों की संख्या =[n(n−1) − n]

                                                2

 = 4 (4-1)   - 4

          2

= 2(3) -4

= 6 - 4

= 2

अतः उत्तल चतुर्भुज में विकर्णों की संख्या 2 हैं।

(b) एक समषड्भुज की आकृति निम्न प्रकार से है -

समषड्भुज में भुजाओं की संख्या (n)= 6

सूत्र 

बहुभुज में विकर्णों की संख्या =[n(n−1) − n]

                                                2

समषड्भुज में विकर्णों की संख्या = 6 (6 - 1) - 6

                                                     2

 = 3(5) - 6

= 15 - 6

= 9

इस प्रकार समषड्भुज में विकर्णों की संख्या 9 होती हैं।

(c) एक त्रिभुज की आकृति निम्न प्रकार से है -

त्रिभुज में भुजाओं की संख्या (n)= 6

सूत्र 

बहुभुज में विकर्णों की संख्या =[n(n−1) − n]

                                                2

अतः त्रिभुज में विकर्णों की संख्या = 3 ( 3 - 1 )  - 3

                                                     2

 = 3 × 2   -3

        2

= 3 - 3

=0

Ex 3.1 Class 8 Maths Q3. उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज उत्तल न हो तो क्या ये गुण लागू होगा ? (एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल ना हो और प्रयास कीजिए ।)

Solution 

त्रिभुज के तीनों अंतः कोणो का योग 180° होता है। इसी प्रमेय की सहायता से हम उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल ज्ञात  करेंगे।

चित्र में उत्तल चतुर्भुज को देखे।

चित्र 1 से

आकृति ADC एक त्रिभुज है।

प्रमेय से त्रिभुज के तीनों अंतः कोणो का योग 180° होता है।

 ∠1+∠2+∠3 = 180 -------- 1

इसी प्रकार

आकृति ABC एक त्रिभुज है।

प्रमेय से त्रिभुज के तीनों अंतः कोणो का योग 180° होता है।

 ∠4+∠5+∠6 = 180 ----------2

पहले चित्र को उत्तल चतुर्भुज ABCD कहा गया है।

∆ADC +∆ABC= चतुर्भुज ABCD

⇒ समी 1 + समी 2 = चतुर्भुज ABCD के चारो कोणों का योग 

⇒ 180° + 180° = चतुर्भुज ABCD के चारो कोणों का योग 

⇒    360°    = ∠A+∠B+∠C+∠D  

अतः उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल 360° होता है। 

  चित्र 2 से 

इसी प्रकार दूसरी आकृति जो उत्तल चतुर्भुज नहीं है ।

⇒ ∆ADC +∆ABC= चतुर्भुज ABCD(जो उत्तल चतुर्भुज नहीं है ।)

⇒ समी 1 + समी 2 = चतुर्भुज ABCD (")

⇒ 180°+ 180° = चतुर्भुज ABCD (")

⇒360° = चतुर्भुज ABCD (")

उपरोक्त से यह सिद्ध होता है कि चतुर्भुज कोई भी हो उनके चारों  कोणों का 360° ही होता है।

Ex 3.1 Class 8 Maths Q4.तालिका की जांच कीजिए (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बांटिए और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए।)

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो।

(a) 7            (b) 8

(c) 10          (d) n

Solution 

(a) 7

बहुभुज की भुजाओं की संख्या (n) = 7

सूत्र 

किसी बहुभुज के कोणों का योग  = (n -2)180°

= (7-2)180°

= 5×180°

= 900°

(b) 8

बहुभुज की भुजाओं की संख्या (n) = 8

सूत्र 

किसी बहुभुज के कोणों का योग  = (n -2)180°

= (8-2)180°

= 6×180°

=1080°

(c) 10 

बहुभुज की भुजाओं की संख्या (n) = 10

सूत्र 

किसी बहुभुज के कोणों का योग  = (n -2)180°

= (10-2)180°

= 8×180°

= 1440°

 (d) n

बहुभुज की भुजाओं की संख्या (n) = n

सूत्र 

किसी बहुभुज के कोणों का योग = (n -2)180°

Ex 3.1 Class 8 Maths Q5. एक सम बहुभुज क्या है? 

Ans वह बहुभुज सम बहुभुज होता है जिसके सभी कोण व भुजाएं बराबर हो 

एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें 

(i) 3 भुजाएं 

(ii) 4 भुजाएं

(iii) 6 भुजाएं

Solution 

(i) 3 भुजाएं

वह सम बहुभुज जिसमें  तीनों भुजाएं  होती हैं, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

(ii) 4 भुजाएं

वह सम बहुभुज जिसमें 4 भुजाएं  होती हैं, वर्ग  कहलाता है।

(iii)  6 भुजाएं

वह सम बहुभुज जिसमें 6 भुजाएं होती हैं, सम षष्ठभुज कहलाता है।

निम्नलिखित आकृतियों में x (कोण ज्ञात कीजिए)

(a)

हम जानते हैं कि चतुर्भुज चारों कोणों का योग 360° होता है।

अतः

⇒ 50° +130° +120° +X = 360°

⇒180° +120° +X = 360°

⇒300° + X = 360° ( पक्षांतर करने पर )

⇒X = 360° - 300°

⇒X =60°

अतः X का मान 60° है। (उत्तर)

(b)

Solution

हम जानते हैं कि सरल रेखा पर बना कोण 180° होता है।

⇒90° + y = 180°

⇒y= 180°- 90°

⇒y= 90°

अब हम चतुर्भुज चारों कोणों का योग 360° होता है। इस प्रमेय से कोण x का मान ज्ञात करेंगे।

⇒x + y +60° +70° = 360°

⇒x + 90° +130° = 360

⇒x + 220° = 360°

⇒x = 360° - 220°

⇒x = 140°

अतः x का मान 140° हैं। (उत्तर)

C

उपरोक्त आकृति में 5 भुजाएं हैं। अतः यह एक पंचभुज है।

हम जानते है कि

किसी बहुभुज के कोणों का योग = (n -2)180°

जहां n = भुजाओं की संख्या

अतः पंचभुज के सभी कोणों का योग = (5 -2)180°

= 3× 180°

= 540°

आकृति से

⇒30° + x + 110° + 120° + x = 540°

⇒260° + 2x = 540°

⇒2x = 540° - 260°

⇒ 2x = 280°

⇒x = 140°

(d)

उपरोक्त आकृति एक सम पंचभुज है।

हम जानते हैं कि पंचभुज के पांचों कोणों का योग 540° होता है।

⇒x + x + x + x + x = 540°

⇒ 5x = 540°

⇒ x = 540°/5

⇒ x = 108°

इस तरह से x का मान 108° है।

7. (a) x +y +z ज्ञात कीजिए।

(b) x+ y +w+ z ज्ञात कीजिए?

Solution 

(a)

हम जानते हैं कि सरल रेखा पर बना कोण 180° होता है।

अतः z +30° =180°

⇒ z = 180° - 30°

⇒ z = 150°

⇒ 90° + x = 180°     (using linear pair)

⇒x = 180° - 90°

⇒x = 90°

हम जानते हैं कि ∆ के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

⇒ 30° + 90°+ ? = 180°

⇒120° + ?=180°

⇒? = 180° - 120°

⇒ ? =60°

हम जानते हैं कि सरल रेखा पर बना कोण 180° होता है।

⇒? +  y   = 180°

⇒60° + y= 180°

⇒y = 180° - 60° 

⇒y =120°

इस तरह से 

= x+y+z

= 90°+120°+150°

= 210°+150°

= 360°

(b)

हम जानते हैं कि सरल रेखा पर बना कोण 180° होता है।

अतः 120°+ x = 180°

⇒x = 180°- 120°

⇒x = 60°

इसी प्रकार से 

⇒80° + y = 180° ( रैखिक युग्म से)

⇒y = 180° - 80°

⇒y = 100°

इसी प्रकार से 

⇒z + 60° = 180°  ( रैखिक युग्म से)

⇒ z= 180°-60°

⇒z =120°

हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360°होता है।

⇒? + 60° + 80° + 120° =360°

⇒? + 60° + 200° = 360°

⇒? + 260° = 360°

⇒?  = 360° - 260°

⇒?  = 100°

पुनः सरल रेखा पर बना कोण 180° होता है।

⇒? + w = 180°

⇒100° +w = 180°      [ ? = 100°]

⇒ w= 180° - 100°

⇒ w= 80°

इस प्रकार से,

w+x+y+z

= 80°+60°+100°+120°

=200°+ 60° +100°

=300° + 60°

= 360°