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class 10 maths chapter 1 in hindi

NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 1 Exercise 1.1 in Hindi


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यहाँ हम हिंदी में लाये है NCERT का पूरा हल कक्षा 10 की गणित पुस्तक के अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ । हमारी यह पोस्ट उन छात्रों के लिए विशेष उपयोगी हैं जो हिंदी माध्यम से पढ़ाई कर रहे हैं।

NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 1 का पूरा हल नीचे बहुत सरल भाषा में दिया गया है।

कक्षा:10
अध्याय: 1
नाम:वास्तविक संख्याएँ 
भाषा:हिंदी 
पुस्तक:गणित

अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.1

Class 10 Maths Chapter 1



Ex 1.1 Class 10 Question 1 निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए - 
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255

Solution

(i) 135 और 225

135 और 225 में संख्या 225 बड़ी  है। अतः
225 >135
यहां पर 135 भाजक तथा 225 भाज्य है।

                135 ) 225 ( 1      go2math.com
                         -135 
                            90 ) 135 (1
                                     -90  
                                      45 ) 90 ( 2
                                             -90  
                                                0

इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक हमारा शेषफल 0 नहीं हो जाता।
 यहां पर remainder = 0 अर्थात 
  r = 0
जिस चरण में शेषफल शून्य होता है उसी का भाजक दी हुई संख्या का HCF होता है।
अतः 135 और 225 का HCF 45 हैं।

(ii) 196 और 38220

Solution
196 और 38220 में संख्या 38220 बड़ी  है। अतः
38220 > 196
यहां पर 196 भाजक तथा 38220 भाज्य है।

           196 ) 38220 ( 195
                    -196    
                     1862
                    -1764  
                          980               @go2math.com
                         -980    
                             0

यहां पर remainder = 0 अर्थात 
  r = 0
इसलिए  196 और 38220 का HCF 196 हैं।

(iii) 867 और 255

Solution

867 और 255 में संख्या 867 बड़ी  है। अतः
867>255

                            255 ) 867 ( 3
                                     -765 
                                      102 ) 255 ( 2
                                               -204 
                                                  51) 102 ( 2
                                                        -102 
                                                            0

अंतिम चरण में शेषफल 0 आ रहा है अतः अंतिम चरण का भाजक ही दी हुई संख्या का म.स. ( HCF ) होगा।
यहां पर remainder = 0 अर्थात 
  r = 0
इसलिए 867 और 255 का म.स. (HCF) 51  हैं।

Ex 1.1 Class 10 Question 2 दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q +1 या 6q +3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णाक है।

Solution
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम a = bq + r 
माना कोई धनात्मक पूर्णांक a और b है जहां b= 6
यूक्लिड विभाजन के अनुसार
                  a= 6q + r जहाँ q ≥ 0 और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 क्योंकि 0 ≤ r < 6.

If  r = 1,
         a = 6q + r

         a = 6q + 1

6q + 1 यह एक धनात्मक विषम पूर्णांक है।
If  r = 3,
         a = 6q + r
         a = 6q + 3

6q + 3 यह एक धनात्मक विषम पूर्णांक है।
If  r = 5,
         a = 6q + r
         a = 6q + 5
6q + 5 यह एक धनात्मक विषम पूर्णांक है।
उपरोक्त से स्पष्ट है कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।

Ex 1.1 Class 10 Question 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

Solution

उपर्युक्त प्रश्न में स्तंभों की अधिकतम संख्या पूछी गई है इसलिए हम 616 और 32 का म.स.(HCF) निकालेंगे।
616 और 32 में संख्या 616 बड़ी है। अर्थात
 616>32
  
         32 ) 616 ( 19
                -32 
                 296
                -288 
                      8 ) 32 ( 4
                          -32 
                             0

अंतिम चरण में शेषफल 0 आ रहा है अतः अंतिम चरण का भाजक ही दी हुई संख्या का म.स. ( HCF ) होगा।
यहां पर remainder = 0 अर्थात 
  r = 0
इसलिए 616 और 32 का म.स. (HCF) 8 हैं।
Ans उन स्तंभों की अधिकतम संख्या 8 है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं।

Ex 1.1 Class 10 Question 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
Solution
माना कोई धनात्मक पूर्णांक a और b है।
जहां b = 3 है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से, 
 a = bq + r जहाँ q ≥ 0 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3.

If
 r= 0,
a= bq+r
a=3q+ 0 ----------1 (eqⁿ)

If
r=1
a= bq+r
a=3q+1 -------------2 (eqⁿ)

If
r =2
a=bq+r
a=3q +2 -------------3 (eqⁿ)
According to question

a²= 3m or 3m+1 or 3m+2

समी 1 का वर्ग करने पर 
(a)²= (3q+0)²
a²= 9q²
a²= 3 (3q²)  इति 
         :.......:
      if  m

समी 2 का वर्ग करने पर 
a²= (3q+1)²
a²= 9q²+1+6q
a²= 9q²+6q+1
a²= 3(3q²+2q)  +1
          :...........:
      if    m

समी 3 का वर्ग करने पर 
a²= (3q+2)²
a²= 9q²+4+12q
a²= 9q²+12q+3+1
a²= 3 (3q²+4q+1) +1.
          :..............…:
    if         m
अतः यह कह सकते हैं कि
a² = 3m or 3m+1 or 3m+1

Ex 1.1 Class 10 Question 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m +8 के रूप का होता है।

Solution
Let
a कोई धनात्मक पूर्णांक हैं।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से, 

 a = bq + r जहाँ q ≥ 0 और  b >r ≥ 0
b का मान 9 रखने पर
a = 9q +r  when 9 >r ≥ 0

if 
r= 0
a= 9q+0 -------------1(eqⁿ)

if 
r= 1
a = 9q+1 -------------2(eqⁿ)

if
r = 2
a = 9q +2 -------------3(eqⁿ)

समी 1 का घन करने पर 
a³ =( 9q)³
a³ = 9 (81q³)
           :.........:
    if      m

a³ = 9m

समी 2 का घन करने पर 
a³ = ( 9q+1)³
a³ = 9× 81q³ + 1+ 3×9q×1(9q+1)
a³ = 9× 81q³ +27q (9q+1) +1
a³ = 9× 81q³ +27q²×9 + 27q +1
a³ = 9 (81q³+27q² +3q) + 1
           :........................…:
    if               m

a³ = 9m+1

समी 3 का घन करने पर 
a³ = (9q+2)³
a³ = 9×81q³ + 8+ 3×9q×2(9q+2)
a³ = 9× 81q³ + 54q(9q+2) + 8
a³ = 9×81q³ +54q²×9 +54q×2 + 8
a³ = 9(81q³ +54q² +6q×2) +8
a³ = 9 ( 81q³+ 54q² + 12q) + 8
           :.............................…:
    if                  m

Then 
a³ = 9m+8
Ans उपरोक्त से स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m +8 के रूप का होता है। 



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